COMBINACIONES, VARIACIONES Y PERMUTACIONES

COMBINACIONES, VARIACIONES Y PERMUTACIONES
En un curso de verano se pretenden formar equipos de 4 integrantes. El total de alumnos son 12.
A partir de dicha información ¿Cuántas grupos se pueden obtener a partir de la búsqueda de combinaciones, variaciones y permutaciones?
Cm, n = _____m ! _____ = Combinaciones ( formula ) n ! * ( m – n ) !
C12, 3 = __________12 ! ___________ 3 ! ( 12 – 3 ) !
C12, 3 = ____12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ____ 3 * 2 * 1 ( 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 )
C12, 3 = __479, 001, 600___ = __479, 001, 600__ = 220 ( 6 ) ( 362,880 ) 2, 171, 280
Vm, n = _____m ! _____ = Variaciones ( formula ) ( m – n ) !
V12, 3 = _____12 ! _____ = __479, 001, 600__ = 1320 ( 12 - 3 ) ! ( 362, 880 )
Pm = m ! = Permutaciones ( formula )
P12 = 12 ! = 479, 001, 600
Elaborado por:
 Ariana M. Méndez Orozco
 Paola Noemí Pineda Flores
 Tania Pineda Morales
 Gabriel Rodríguez Díaz

MUESTRAS Y POBLACIONES

 

                                                                                                            

 

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

*DISTRIBUCIONES DISCRETAS:

BINOMIAL	POISSON	HIPERGEOMETRÍCA	MULTINOMIAL	MULTI HIPERGEOMETRÍCA
- parte de la distribución de Bernouilli. -se aplica cuando se realiza una sola vez un experimento que tiene únicamente dos posibles resultados (éxito o fracaso), por lo que la variable sólo puede tomar dos valores: el 1(éxito) y el 0 (fracaso). -" k " es el número de aciertos. -" n" es el número de ensayos. -" p " es la probabilidad de éxito.	- el experimento un número "n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson: -Se tiene que cumplir que:" p " < 0,10 " p * n " < 10 -La distribución de Poisson sigue el siguiente modelo: - El número "e" es 2,71828 -"  " = n * p (es decir, el número de veces " n " que se realiza el experimento multiplicado por la probabilidad " p " de éxito en cada ensayo) " k " es el número de éxito cuya probabilidad se está calculando	- En cada ensayo hay tan sólo dos posibles resultados: o sale blanca o no sale. Pero se diferencia de la distribución binomial en que los distintos ensayos son dependientes entre sí. -Las probabilidades son diferentes (hay dependencia entre los distintos ensayos). - N: es el número total de bolas en la urna. N1: es el número total de bolas blancas N2: es el número total de bolas negras k: es el número de bolas blancas cuya probabilidad se está calculando n: es el número de ensayos que se realiza	- Es similar a la distribución binomial, con la diferencia de que en lugar de dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber múltiples resultados: - - X1 = x1: indica que el suceso X1 aparezca x1 veces (en el ejemplo, que el partido POPO lo hayan votado 3 personas) n: indica el número de veces que se ha repetido el suceso (en el ejemplo, 5 veces) n!: es factorial de n (en el ejemplo: 5 * 4 * 3 * 2 * 1) p1: es la probabilidad del suceso X1 (en el ejemplo, el 40%)	- Es similar a la distribución hipergeométrica, con la diferencia de que en la urna, en lugar de haber únicamente bolas de dos colores, hay bolas de diferentes colores. - - X1 = x1: indica que el suceso X1 aparezca x1 veces (en el ejemplo, que una de las bolas sea blanca) N1: indica el número de bolas blancas que hay en la urna (en el ejemplo, 7 bolas) N: es el número total de bolas en la urna (en el ejemplo, 14 bolas) n: es el número total de bolas que se extraen (en el ejemplo, 3 bolas)

*DISTRIBUCIONES CONTINUAS:

UNIFORME	NORMAL 1	NORMAL 2	NORMAL 3	NORMAL 4
- Es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, todos ellos con la misma probabilidad. -Es una distribución continua porque puede tomar cualquier valor y no únicamente un número determinado (como ocurre en las distribuciones discretas). función de distribución - - b: es el extremo superior (en el ejemplo, 160 ptas.) -a: es el extremo inferior (en el ejemplo, 140 ptas.) - valor medio de esta distribución: -	-Es el modelo de distribución más utilizado en la práctica, ya que multitud de fenómenos se comportan según una distribución normal. -Esta distribución de caracteriza porque los valores se distribuyen formando una campana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribución. X: N ( 2) es el valor medio de la distribución y es precisamente donde se sitúa el centro de la curva (de la campana de Gauss). 2 : es la varianza. Indica si los valores están más o menos alejados del valor central. Cuando la media de la distribución es 0 y la varianza es 1se denomina "normal tipificada", y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribución.	Ejemplo: queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 2,75.Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 2,7 y en la primera fila el valor 0,05. La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (0,99702, es decir 99.7%). Atención: la tabla nos da la probabilidad acumulada, es decir, la que va desde el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor. No nos da la probabilidad concreta en ese punto. En una distribución continua en el que la variable puede tomar infinitos valores, la probabilidad en un punto concreto es prácticamente despreciable. -Las probabilidades para cada valor de la curva se encuentran recogidas en una tabla. - La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer. La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando. - es transformar esa distribución en una normal tipificada, para ello se crea una nueva variable (Y) que será igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviación típica	Ejercicio 1º: La renta media de los habitantes de un país es de 4 millones de ptas/año, con una varianza de 1,5. Se supone que se distribuye según una distribución normal. Calcular: a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones de ptas. b) Renta a partir de la cual se sitúa el 10% de la población con mayores ingresos. c) Ingresos mínimo y máximo que engloba al 60% de la población con renta media. - calcular la normal tipificada. (*) Recordemos que el denominador es la desviación típica ( raíz cuadrada de la varianza) - Ahora tenemos que ver cuál es la probabilidad acumulada hasta ese valor. - La probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100%) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor. -	Ejercicio 1º: El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una país es de 59 litros, con una varianza de 36. Se supone que se distribuye según una distribución normal. a) Si usted presume de buen bebedor, ¿cuántos litros de cerveza tendría que beber al año para pertenecer al 5% de la población que más bebe?. b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al año y su mujer le califica de borracho ¿qué podría argumentar en su defensa? - Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 0,95 (95%), por lo que por arriba estaría el 5% restante. Ese valor corresponde a Y = 1,645 (aprox.). Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada. - Despejando X, su valor es 67,87. - Vamos a ver en que nivel de la población se situaría usted en función de los litros de cerveza consumidos. - Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros. -

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Estrategia didáctica 2.2.2.4.  Probabilidad condicional

Comentario: Se inicia el estudio de la probabilidad condicional con el propósito de obtener el teorema de Bayes. Es necesario remarcar el significado de esta probabilidad para que establezca una clara diferencia entre este par de probabilidades. Deben darse ejemplos varios de la diferencia entre estas probabilidades.

1. En la estrategia anterior se obtuvo la probabilidad final mediante una multiplicación. Por ejemplo, para calcular P(C y T) = P(C) P(T|C) = (0.1)(0.3) = 0.03. Escribe el producto que hiciste para hallar cada una de las otras 3 probabilidades finales como se hizo en este inciso.

C: diagnostico correcto

D: demanda

P(C) =0.7              P(no C) =1-0.7 =.03

P(D/no C) =0.9

La probabilidad de que el medico realice un diagnostico incorrecto y que el paciente lo demande es P (D y  no C)

Como P (D/no C) = P (D y no C)/ P (no C), entonces

P(D y no C) =P (D/no C)*P(no C) = 0.9*0.3 =0.27

C= cambio de aceite

F= cambio de filtro de aceite

P(C) =0.25

P(F) =0.40

P(CyF)= 0.14

·         Debemos calcular P(F/C)

P(F/C)= P(F/C)/P(C)= 0.14/0.25 = 0.56

·         Debemos calcular P(C/F)

P (C/F) = P(FyC)/ P(F) =0.14/ 0.40= 0. 035

2. Observa que las 4 fórmulas del inciso anterior tienen la misma forma. Esto sugiere que existe una forma general para todas ellas. Por ejemplo, si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces

P(A y B) = P(A)P(B|A)

Esto significa que una probabilidad final se calcula multiplicando una probabilidad a priori por una probabilidad condicional.

Pero sabemos por los métodos algebraicos que podemos despejar un producto. Si despejamos P(B|A) tendremos:

                                                                                               (1)

Esta fórmula también nos permite calcular una probabilidad condicional y nos indica algo mejor. Una probabilidad condicional se halla calculando el cociente entre una probabilidad final y una probabilidad a priori. Por ejemplo, del árbol de la práctica 3, se tiene que

P(T|C) = .03/0.1 = 0.3

como cabía esperar. Verifica que las demás probabilidades condicionales del mismo árbol cumplen con esta ecuación.

3. Ya habrás verificado que en la práctica anterior, la suma de las probabilidades finales es 1. Pero podemos distinguir dos casos. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que una persona se titule? ¿y de que no se titule?, es decir, se pide que se calcule P(T) y P(NT). ¿Cuánto vale cada una de ellas?

P(T)= P(C/T)+ P(NC/T) = 0.3+0.95= 1.25 = 62.5%

P(NT)= P(C/NT)+ P(NC/NT)= 0.7+0.05= 0.75 = 37.5%

4. Calcula las probabilidades de que una persona se divorcie usando los árboles anteriores.

P(D)= P(D/SF)+ P(D/CF)=0.3+0.7= 1.0 =50%

5. Las probabilidades que calculaste en el punto 3 de esta práctica se les llama probabilidades totales porque representan todas las formas en que un evento sucede sin importar lo que haya ocurrido. Una probabilidad total es la suma de ciertas probabilidades finales. Por ejemplo:

P(T) = P(C y T) + P(NC y T)

O bien

P(T) = P(C)P(T|C) + P(NC)P(T|NC)

Escribe las mismas fórmulas para P(NT).

P(NT)= P(C y NT)+ P(NC y NT)

P(NT)= P(C) P(C/NT)+ P(NC)P(NC/NT)

6. Escribe las fórmulas del punto anterior para las probabilidades de divorciarse dadas en los árboles 3 y 4 de la estrategias anteriores.

P(D)= P(D y SF)+ P(D y CF)

P(D)= P(D) P(D/SF)+ P(D)P(D/CF)

7. ¿Suman 1 las probabilidades totales? ¿por qué? Si, por que si se suman todas las probabilidades que se pueden dar en un evento, se retoma como el 100% de que si pasa, pero con diversas complicaciones.

8. Como nota final, haremos una convención. En la fórmula de la probabilidad condicional P(A|B), llamaremos al evento B la “condición”, esto es con el único propósito de distinguir el evento que “antecede al otro, A. Esto nos permitirá facilitar la discusión de un nuevo tipo de probabilidad que surgirá en la siguiente práctica.

Comentario: Esta estrategia tiene como propósito el estudio y obtención del teorema de Bayes. Debe surgir su estudio de manera natural al intercambiar los eventos en la probabilidad condicional. Debe tenerse cuidado en la lectura y en los valores de esta probabilidad inversa, pues debe remarcarse que la condicional se dirige a los actores del fenómeno aleatorio que no siempre coinciden con los demás actores a los que se les dirige la probabilidad inversa. No es de la misma importancia una u otra para los que estudiaron a vivieron el fenómeno aleatorio.

1. Hasta ahora tenemos cuatro tipos de probabilidades: inicial, condicional, final y total. Imagina que tenemos los eventos: A: Corto circuito en una refinería, y B: Incendio. Construye un diagrama de árbol con esos dos eventos, asignando probabilidades según como lo consideres adecuado, y calcula todas y cada una de las 4 probabilidades mencionadas.

B

AB

 

ASB

SB

A

0.8                   0.7

                                               0.3

SAB

B

                                               0.2

SA

SB

SASB

 

                        0.2                   0.8

2. Responde a las siguientes preguntas:

a)      ¿Cuál es la probabilidad de que haya un corto circuito en una refinería? O.8

b)      ¿Cuál es la probabilidad de que haya un incendio en una refinería si hubo allí un corto circuito? 0.7

c)      ¿Cuál es la probabilidad de que haya un corto circuito y un incendio en una refinería? 1.5

d)     ¿Cuál es la probabilidad de que haya un incendio?0.9

e)      ¿Cuál es la probabilidad de que, si hay un incendio en una refinería, este se deba a un corto circuito? 0.56

3. Las preguntas b) y e) del inciso anterior son ambas probabilidades condicionales, pero ambas tienen sentido diferente. En b) se sabe que hubo un corto circuito y se pregunta la probabilidad de que esto propicie un incendio; en e) se sabe que hubo un incendio, y se desea saber la probabilidad de que sea debido a un corto circuito. Es de notar que ambas probabilidades son diferentes porque tienen condiciones diferentes. Utiliza la notación de la probabilidad condicional para denotar estas dos probabilidades.

P(A)P(B)

P(B)= P(B/A)

4. Si no has calculado ambas probabilidades del punto anterior, te sugerimos que uses la fórmula (1). Aplícala al cálculo de las probabilidades mencionadas.

5. Si has logrado calcular las probabilidades, entonces habrás obtenido las siguientes fórmulas:

La primera es la fórmula de la probabilidad condicional (de que haya un incendio dado que hubo un corto circuito) y la segunda es la inversa de la primera (de que, dado que hubo un incendio, haya sido por un corto circuito). Aquí se nota claramente que las condiciones son diferentes y por tanto las dos probabilidades condicionales son diferentes. Por ello, podemos llamarlas probabilidad condicional directa a la primera y probabilidad condicional inversa  a la segunda. Nota que el cálculo de ambas, aunque es de interés para la probabilidad, tiene distintas aplicaciones: la primera le interesa conocerla al dueño de la refinería y la segunda le interesa determinarla a la compañía aseguradora (¡O a los bomberos!). verifiquemos esta idea con el siguiente ejercicio.

6. Imagina que tenemos dos eventos: M: Estudiar durante el semestre, y S: aprobar el curso de Estadística y Probabilidad. Construye un diagrama de árbol para estos eventos y calcula todas las probabilidades conocidas, desde la inicial, hasta las dos probabilidades inversas (existen dos inversas porque hay dos condicionales directas), asigna los calores de las probabilidades para tu caso particular según como consideres que vas a trabajar durante el semestre.

S

MS

 

NS

MNS

M

0.8                   0.7

                                               0.3

NMS

S

                                               0.2

NM

 

NMNS

NS

                        0.2                   0.8

7. Habrás notado que han aparecido las notaciones P(A y B) y P(B y A). No hay razón para creer que ambas son diferentes, y seguramente al calcular las probabilidades las usaste de manera equivalente: por ejemplo, si decimos ¿cuál es la probabilidad de que me levante temprano y vaya a la escuela? No parece que haya alguna diferencia con ¿cuál es la probabilidad de que vaya a la escuela y me levante temprano? En nuestro caso, usaremos la palabra “y” en un sentido en el que el orden en que se dice la frase no sea temporal, por ejemplo: no es lo mismo decir: “voy a sacar copias y te veo en la entrada de la escuela”, a decir: “te veo en la entrada de la escuela y voy a sacar copias”, pues es claro el sentido temporal de ambas oraciones. Eliminaremos este y otros casos en los que en el lenguaje común usamos la palabra “y” como indicando un orden en el tiempo en que realizamos acciones y nos quedaremos con el uso de esa palabra donde el orden temporal no es importante. Es necesario hacerlo así pues de lo contrario las oraciones de la forma A y B no serían equivalentes a la que tuvieran la forma B y A, y por lo tanto, tampoco lo serían sus probabilidades. Para reforzar este uso de la palabra “y” en un único sentido, no la seguiremos empleando en la notación de la probabilidad final (para que no se corra el riesgo de que alguien la interprete en sentido temporal, y, por tanto, equivocado), sino que lo sustituiremos por el símbolo “Ç” , de manera que en adelante P(AÇB) representa la probabilidad final de los eventos A y B.

8. En el punto 6 de esta práctica, calculaste la probabilidad de P(M|S) y P(S|M), es decir la probabilidad de que hayas estudiado durante el semestre dado que aprobaste el curso, y la probabilidad de que apruebes el curso dado que estudiaste. ¿Quién tiene mayor interés en conocer los valores de cada una de estas probabilidades? ¿el alumno o el maestro? ¿por qué? El primer caso de haber estudiado durante el semestre, le interesa más al profesor porque así se centraría mas en sus procesos y no solo en los resultados y el de aprobación le interesa al alumno porque ya es un semestre menos que aprobar.

9. Las fórmulas de las probabilidades que calculaste en el punto 6 son:

La probabilidad condicional directa (que en adelante la llamaremos sólo probabilidad condicional) es P(S|M), y la probabilidad condicional inversa es P(M|S), (en adelante la llamaremos probabilidad inversa). Por lo que comentamos en el punto 7, se tiene que

P(MÇS) = P(SÇM)

Pero si observas con cuidado ambas fórmulas, las probabilidades de las condiciones, en ambos casos, ya no son las mismas. Por ejemplo, en un caso se tiene P(S) y en el otro P(M). De las 5 probabilidades que se han visto, ¿qué tipo de probabilidad es cada una de ellas? A priori.

10. La probabilidad inversa es el cociente entre la probabilidad final entre la total. Escribe este cociente para un árbol de dos eventos A y B, de manera que la probabilidad total la descompongas como una suma de productos de probabilidades condicionales y a priori. Esta fórmula que obtuviste se le llama Teorema de Bayes.

EJERCICIOS

1. En una ciudad hay dos compañías de taxis, los verdes y los amarillos. De los verdes hay un 85% de los taxis de la ciudad y de los amarillos se tiene el resto. Un taxi atropella a una persona y su conductor se da a la fuga. Hay un testigo que cree que el taxi era verde. Se llevan a cabo una serie de pruebas que revelan que la testigo identifica correctamente el color del taxi el 80% de las veces, en las mismas condiciones de iluminación que tuvo lugar el accidente; el 20% restante confunde un taxi amarillo con uno verde. ¿Qué probabilidad hay de que el taxi sea realmente verde? ¿es confiable el testigo? ¿por qué?

2. La probabilidad de que una persona compre un disco si oye el radio es de 0.96, y si no oye el radio, la probabilidad de que compre un disco es de 60%. Además se sabe que el 80% de las personas de una ciudad oyen radio. Si se elige una persona al azar de la población, ¿cuál es la probabilidad de que  escuche el radio si compró un disco?

3. En una escuela, la probabilidad de que un alumno apruebe si hace la tarea es de 0.98, y de que apruebe si no hace la tarea es de 0.05. Si el 75% de los alumnos hace la tarea, y un profesor selecciona un alumno al azar que aprobó, ¿cuál es la probabilidad de que haya hecho la tarea?

4. En  un hospital, de 1000 mujeres que fueron a consulta, 80 tenían cáncer y 74 de ellas dieron una mamografía positiva. De las 920 que no tenían cáncer 110 resultaron con mamografía positiva. Si una mujer da positivo en la mamografía, ¿cuál es la probabilidad de que realmente tenga cáncer?

5. Por la noche en una carretera oscura, pasan en sentido contrario dos autos. La probabilidad de que sólo el conductor A vaya adormilado es de 0.3, de que sólo el conductor B vaya adormilado es de 0.4,  de que ambos vayan adormilados es de 0.15 y de que ninguno vaya adormilado es de 0.15. Si sólo B va adormilado, la probabilidad de que ocurra un accidente es de 0.6 y si sólo A va adormilado, la probabilidad de que ocurra un accidente es de 0.4; si ambos van adormilados la probabilidad es de 0.85 y si ninguno va adormilado la probabilidad de que ocurra un accidente es de 0.01. ¿Cuál es la probabilidad de que haya un accidente? ¿y de que si ocurrió un accidente haya sido porque B iba adormilado?

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